برای حل این مسئله، باید تعداد پرتقال‌ها را طوری پیدا کنیم که وقتی آن‌ها را بر ۵، ۶ یا ۷ تقسیم می‌کنیم، ۳ پرتقال باقی بماند.
بنابراین، فرض می‌کنیم تعداد پرتقال‌ها را با \( n \) نمایش دهیم. شرایط مسئله را می‌توان به صورت زیر نوشت:
- \( n \equiv 3 \mod 5 \)
- \( n \equiv 3 \mod 6 \)
- \( n \equiv 3 \mod 7 \)
این شرایط به این معناست که وقتی \( n \) را بر ۵، ۶ و ۷ تقسیم می‌کنیم، باقی‌مانده هر بار ۳ است.
برای به دست آوردن \( n \)، می‌توانیم از کمّیت مشترک استفاده کنیم. به طوری که بیابیم مقدار \( n-3 \) باید بر ۵، ۶ و ۷ بخش‌پذیر باشد:
بنابراین از ما می‌خواهیم
\[ n - 3 \equiv 0 \mod 5 \]
\[ n - 3 \equiv 0 \mod 6 \]
\[ n - 3 \equiv 0 \mod 7 \]
این به این معناست که \( n - 3 \) باید مضرب کوچک‌ترین مضرب مشترک (LCM) این سه عدد ۵، ۶ و ۷ باشد.
برای محاسبه LCM:
- مضرب‌های ۵: \( 5, 10, 15, 20, 25, 30, ... \)
- مضرب‌های ۶: \( 6, 12, 18, 24, 30, ... \)
- مضرب‌های ۷: \( 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, ... \)
کمترین عددی که در سه دسته‌ی بالا مشترک است 210 می‌باشد.
بنابراین:
\[ n - 3 = 210 \]
\[ n = 210 + 3 = 213 \]
بنابراین، تعداد حداقل پرتقال‌ها \( n \) برابر با 213 است.
**پاسخ نهایی: 213**
